Journal of Chemical Software, Vol. 8, No. 1 (2002)

原子軌道の様々な可視化方法の組合せとその波動性の表現

時田澄男, 木戸冬子, 杉山孝雄, 渡部智博, 時田那珂子, 東千秋

1 序論

原子軌道の表示については, 多くの研究者がその重要性を述べて可視化の研究をおこなっている[1 - 16]. これらの多くは, 原子軌道の形に重点を置いて説明したものであり, 力学的振動 [17]との対比を用いて波動性を強調する研究は少ない [18 - 20]. 特に, 波動性の説明に使用されている表現の大部分は静止画であり, 動画を用いた例はほとんどない [21].一方, 原子軌道の形を動画で表現する試みは増加している [22, 23]. R. M. Whitnellらは, 原子軌道の等値曲面や断面をQuickTime Movie [24]で表現し[13], D. Smithは, 原子軌道の等値曲面をMPEG動画 [25]で表現した [26]. さらに, 近年インターネット上では, 教育機関を中心に量子化学の教材としての原子軌道の静止画や動画での公開が進んでいる [27].
最近, CD-ROMドライブ [28]の普及により, CD-R [29]やCD-RW [30]など, FD (Floppy Disk)と比べて大量のデータの書き込みが可能な記録媒体が, ソフトウェアの配布用として容易かつ安価に利用出来るようになった.
我々は, これらの記録媒体がランダム読み出し可能であることに注目し, 原子軌道や力学的振動の可視化結果を様々の組合せで表示し, 軌道における波動性の認識に役立てる方法について研究した.

2 研究方法

2. 1 可視化のための環境

水素原子の1s～6h原子軌道のうちいくつかを選び, 等値曲面, 擬三次元, 等高線表示, 断面図およびこれらの組合せの画像を作成した.
静止画は, AVS 5.1 [31] とPV WAVE Advantage 1.0 [32] を使用して作成した. 今回使用したAVSのネットワークは, 前回 [17]と同じである.
一部の画像には, Adobe Photoshop 3.0J [33] を用いて説明を付け加えた. 静止画から動画を作成するのにはAdobe Premiere 5.0 [34] を用いた. 編集には HTML [35]を用い, ブラウザ [36] での閲覧を可能とした. また, 近年QTVR [37]という動画を任意に操作できる技術が注目されている. QTVRで作成した画像 [22] も組合せ画像のひとつとして使用した. 但し, QTVRを使用するためにはアドオンソフトウェア [38] が必要である.
PV WAVE での作業は, PC/AT (Personal Computer /Advanced Technology) 互換機上でOS (Operation System) としてWindows NT 3.5 を使用して行った. AVSは, 当初Silicon Graphics Inc.のEGWS (Engineering Graphic WorkStation)であるIRIS INDIGO R4000 XS24Z上で使用していたが, 後にPCでも動作可能になったため, 後半はPC上でOS としてWindows 2000 Professionalを使用して行った.

2. 2 静止画

PCで一般的に用いられる静止画フォーマットとしては, BMP [39], GIF [40], JPEG [41], PNG [42], TIFF [43]などがある. インターネットでは, GIFまたはJPEGが一般的であり, アドオンソフトウェア無しで表示できる. また, Windows 95/98/NT/2000 (以下, Windowsと記す) においては, BMPが標準的なフォーマットであるため, Windows用のブラウザであるInternet Explorer [44] などでは, GIFやJPEGの他にBMPもアドオンソフトウェア無しで表示できる. 扱える色数は, GIFが8bit（256色）であるのに対し, BMPとJPEGはフルカラー [45] まで扱える. GIFやJPEGは, 圧縮処理されるため, ファイルサイズがBMPより小さくなる. また, JPEG は, 不可逆圧縮 [46]を採用しているために元画像を完全には再現出来ない. このため, JPEGで編集や保存を繰り返すと画像が劣化する. 本研究では, フルカラーの画像を採用したため, 編集時にBMPを用いて, 最後にJPEGで保存する方法をとった.

2. 3 動画と大容量媒体

動画は, 画像を連続的に表示するために多くの情報を表現できる反面, 静止画と比べて情報量が多くなり, １つのファイルがFDに入りきらないサイズ (数Mbytes)となる場合が少なくない. このため, MO[47] , CD-R, CD-RW, DVD-R [48], DVD-RAM [49], DVD-RW [50]などの大容量で書き込み可能な媒体が必要となる. 本研究では, PCに付属しているCD-ROMドライブでの再生が可能で, FDと比べて大量のデータが書き込め, かつビット単価が安いCD-Rを配布用の媒体として選択した.
PC上で一般的に用いられる動画フォーマットとしては, AVI [51], QuickTime Movie, MPEGがある. このうち, QuickTime MovieとMPEG は, 動画を再生する際にアドオンソフトウェアが必要である. このため, Windowsの標準的な環境でアドオンソフトウェアを必要とせずに再生できるAVIを標準の動画フォーマットとして選択した.

3 結果と考察

3. 1 軌道と振動の対比

我々は, 水素原子の原子軌道と, 周囲を固定した円形膜の力学的振動を対比させることにより, 原子軌道の波動性の理解を助けることを目的としたプログラムを開発した.
プログラムは, Figure 1に示すように, (1)さまざまな可視化表現（可視化表現一覧）, (2)断面表示, (3)節面表示から構成されている. 原子軌道の波動性を様々な視点から円形膜振動と比較して確認することができるように工夫した.

Figure 1. Comparison of the atomic orbital with the oscillation of a circular membrane.

3. 2 原子軌道の様々な可視化表現と周囲を固定した円形膜の力学的振動の対比

Figure 2(a) は, 2p_x原子軌道の等値曲面表示である. 等値曲面は, 原子軌道が特定の関数値となる面で, 図2(a)では, 2p_x原子軌道が -1.40×10^-2, 0, +1.40×10^-2 au^-3/2となる面を表している. Figure 2 (a) をクリックすると動画が再生され, 角度を変えて等値曲面を見ることができる. 動画のスナップショットをFigure 3に示す. Figure 2(b) は, 2p_x原子軌道の等値曲面表示を中央に描き, zに一定値を与えたときの断面の等高線を上方の平行四辺形に投影した表示である. Figure 2(b) をクリックすると動画が再生され, zの値を変えた時の断面の等高線の変化を見ることができる. 動画のスナップショットをFigure 4に示す.Figure 2(c) は, Figure 2(b) のzに0を与えた場合の断面（波動関数の二次元平面（XY平面）における関数値変化）の変位量を濃淡で示した図である. Figure 2(b)は, Figure 2(a)とFigure 2(c)の関係を表現している. Figure 2(d) は, Figure 2(b)のzに0を与えた場合の断面について, 等高線表示（Figure 2(d)上）, 二次元平面における関数値変化を擬似的に三次元のグラフに表示した擬三次元表示（Figure 2(d)中）, 変位量を濃淡で示した図（Figure 2(d)下）を組合せて表示したものである. Figure 2(d)をクリックすると, 動画が再生できる. Figure 2(d)の上, 中, 下は, 同じ断面を異なった方法で表現したものである.
Figure 2(e)は, 周囲を固定した円形膜におこる定常波 (力学的振動) のうちの１つ (i=1, j=1)の最大変位における変位量[52]をベッセル関数でシミュレートして濃淡で示した図である. Figure 2(f) は, 同じ定常波の動画の一画面であり, Figure 2(e) と同じ最大変位における変位量を見取り図で表したものである. Figure 2(e), (f)とFigure 2(a)～(d)の対応関係については次節で述べる.
Figure 2は, メニュー（Figure 1）の(1)を選択すると表示される.

Figure 2. Various kinds of visualization on the atomic orbital of the hydrogen atom (a-d) and the oscillation of the circular membrane (e, f): (a) Representing isosurfaces of a 2p_x atomic orbital; (b) Representing isosurfaces of the square of a 2p_x atomic orbital together with an animation of their cross sections; (c) The cross section of a 2p_x atomic orbital; (d) The pseudo-three-dimensional representation of a 2p_x atomic orbital and the contour map of a 2p_x atomic orbital; (e) Representing the maximum displacement of the oscillating circular membrane at i=1, j=1 by Bessel function; (f) Snapshot of the simulation of an oscillating circular membrane at i=1, j=1 by Bessel function

Figure 3. An animation of the isosurfaces of a 2p_x atomic orbital of the hydrogen atom.

Figure 4. Representing isosurfaces of the square of a 2p_x atomic orbital of the hydrogen atom together with an animation of their cross sections.

3. 3 原子軌道の断面で見る波動性と周囲を固定した円形膜の力学的振動との対応

波には, 一定の場所を上下するだけで進行しない定常波（Stationary Wave）と, 正弦波のように伝播していく進行波（Progressive Wave）がある. 定常波とは, 弦や膜の振動のように決まった範囲内に局在する固有振動のことである.
Figure 5(a) は, 1s原子軌道の断面をFigure 2(d)と同じ方法で表示したもので, 等高線表示（Figure 5(a)上）, 擬三次元表示（Figure 5(a)中）, 等高線表示における関数値に適当な色を割り当てて断面の変位量を濃淡で示した図（Figure 5(a)下）を組合せて表示したものである. 擬三次元表示でも等高線表示でも, 関数値を描画する際の視点は同じである. Figure 5(a)をクリックすると動画が再生できる（動画のスナップショットをFigure 6に示す）.
Figure 5(b) は, 周囲を固定した円形膜におこる定常波 (i=1, j=0) の最大変位について変位量を濃淡で示した図で, Figure 5(a)の上下と類似していると見誤られ易い. しかし, Figure 5(b)は, 二次元の膜の力学的振動における実際の変位量をあらわしているのに対し, Figure 5(a)は, 三次元の波動性を持つ原子軌道の一断面における関数値を表している. Figure 5(c) は, Figure 5(b)と同じ定常波の動画の一画面である. Figure 5(a) の擬三次元表示とFigure 5(c) の間には類似性が見られるが, 物理的意味が異なるのは前述したとおりである. すなわち, 擬三次元表示（Figure 5(a)）は, 波動関数の二次元平面における関数値変化を擬似的に三次元のグラフに表示したもので, Figure 5(c) のように変位量を表すものではない. Figure 5(c) をクリックすると動画が再生できる（動画のスナップショットをFigure 7に示す）.
三次元の原子軌道の断面の関数値をいろいろな方法で表示することにより, 力学的振動との類似性が見られる理由は, 二次元の力学的振動（定常波）の断面図に, 一次元の定常波のパターンが現れることに対応している.
Figure 5は, メニュー（Figure 1）の(2)を選択すると表示される.

Figure 5. The cross section on the atomic orbital of the hydrogen atom (a) and the oscillation of the circular membrane (b, c): (a) The pseudo-three-dimensional representation of a 1s atomic orbital and contour surfaces of a 1s atomic orbital; (b) Representing the maximum displacement of an oscillating circular membrane at i=1, j=0 by Bessel function; (c) The snapshot of the oscillating circular membrane at i=1, j=0 by Bessel function.

Figure 6. An animation on the pseudo-three-dimensional representation of a 1s atomic orbital and contour surfaces of a 1s atomic orbital in variation with different viewpoints.

Figure 7. An animation on the oscillating circular membrane at i=1, j=0 by Bessel function.

3. 4 原子軌道の節面で見る波動性

原子軌道の定常波には, 時刻によらずに振幅が常に0になる点（節, Node）と, 節と節の中間に振幅が最大になる点（腹, Antinode）がある. 波動方程式を解いて得られる波動関数は, 定常波特有の節面（Nodal Plane: その両面で原子軌道の符号が変化する面, すなわち軌道関数の値が0となる面）を持つ. したがって, 両者のパターンを比較することにより, 波としての性質（波動性）の類似性を見ることが可能となる. 節面の総数は, 主量子数をnとすると, n - 1で表され, 角度方向の節面数は方位量子数lと同じになる. また, 動径方向の節面の数は, n - l - 1である. 節面は, 原子軌道の波動性を表すために重要である.
Figure 8は, 2p_x, 3p_x, 4p_xの原子軌道の等値曲面表示（Figure 8(a), (b), (c)）とこれらのzに0を与えた場合の原子軌道の断面について, 絶対値の大きさを濃淡で示した図（Figure 8(d), (e), (f)）について, 対応する周囲を固定した円形膜におこる定常波の最大変位における変位量を濃淡で示した図（Figure 8(g), (h), (i)）を比較表示させたものである. Figure 8(a), (b), (c)のメッシュは, 節面を表現している [54]. Figure 8(d), (e), (f) は, + から - への符号変化から,その間にある節面を表現している. Figure 8からは, 主量子数の増加とともに節面が規則的に増加する様子が理解できる. また, Figure 8(d), (e), (f)とFigure 8(d), (e), (f)の間には, 明らかな類似性が見られる.
Figure 8は, メニュー（Figure 1）の(3)を選択すると表示される.

Figure 8. The nodal surfaces on the atomic orbital of the hydrogen atom (a-f) and the oscillation of the circular membrane (g-j): Isosurfaces of a (a) 2p_x, (b) 3p_x, and (c) 4p_x atomic orbital; The cross sections of a (d) 2p_x, (e) 3p_x, and (f) 4p_x atomic orbital; Representing the maximum displacement of the oscillating circular membrane at (g) i=1, j=1, (h) i=1, j=2, (i) i=1, j=3 by Bessel functions.

4 結論

様々な原子軌道, 力学的振動の静止画や動画を, CD-Rなどに記録して, 利用者が対話的に操作できるソフトウェアを作成した. このソフトウェアにより, 以下のことが可能となった.

原子軌道の様々な可視化表現における対比が可能となった.
原子軌道の断面や節面で見る波動性と周囲を固定した円形膜の力学的振動との対応が可能となった.
静止画のみで全体が把握できない原子軌道の等値曲面の形について, 見る位置を変えて動画にすることにより, わかりやすく表現することが可能になった. また, 円形膜の力学的振動については, 動画で表現することによって波動性について具体的な表現することが可能なった,

本ソフトウェアは, 原子軌道を可視化することにより, 数式との対応が容易になる．また，本ソフトウェアを, 量子化学や物理化学の授業に取り入れることにより, 原子軌道の波動性の理解が深まることが期待できる.

参考文献

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