Microsoft Excelソルバーによる酸解離定数および濃度の決定

吉村 季織, 岡崎 正規, 中川 直哉

1 緒言

2 滴定曲線の理論式

3 滴定

4 計算

Figure 1. Parameters(left) and option(right) for the calculation by Solver.

“パラメータ設定”の“目的セル”には、二乗和の計算結果を示すセルのアドレスを指定した（このセルは変数の変化が反映されるように、式を入力しておく）。最小二乗法であるから、二乗和が最小になるようにしなくてはならないので、“目標値”として“最小値”を選択した。“変化させるセル”への入力は解離定数を示すセルのアドレス、濃度を示すセルのアドレスの順に記入した。“オプション設定”では、変数K₁、K₂、K₃、C_Aが非負に制限されるので、“非負数を仮定する”をチェックした（非負制限のみは、パラメータ設定の制約条件よりもこちらの方が便利である）。今回の計算においては、これら以外のパラメータ、オプションは一切追加、変更等を行わなかった（とくに“精度”の設定は重要と思われるが、筆者の経験では変更する必要はなかった）。ちなみに、今回用いなかったが“制約条件”は頻繁に必要になる。たとえば、K₁とK₂の和が10を越えない、つまりK₁ + K₂ <=10、といった条件を付加する際には制約条件に追加設定しなくてはならない。

5 結果と考察

Figure 2. Experimantal and calculated titration data of citric acid solution with NaOH solution.

計算速度は、実用性を決定する重要な要素である。特に、今回程度の問題を解くために数時間を要するようでは、実用的とは言えない。ソルバーはExcelの上で動いているので、その計算速度は専用に開発されたソフトウェアには及ばないのは当然である。しかしPentium 90MHz搭載のパソコンでさえ8.60秒程度と、十分に実用に耐えうる計算速度であった。PentiumIII 650MHz搭載パソコンに至っては、1.11秒と格段に短縮された。現在使われているほとんどの機種では、2秒以下の時間で計算を完了できると予測される。現時点ではCPUの最大クロックは1.5GHz程度にまでなってきており、さらに最近CPU製造会社間での競争が激しく、2002年には3GHzに達すると言われている[6 - 8]。したがって、今後より多くの変数を持つ問題や複雑な問題であっても、ソルバーによってストレスを感じることなく解くことができるようになるであろう。また、Excelのソルバーを用いる利点の一つは、普段使い慣れているExcelの上で使うということである。新しいソフトウェアの使用法を覚えることや、プログラムの労力を考えると、計算時間が長いことはそれほど欠点にはならないと言ってよいだろう。
このように良いことが多いように見えるソルバーであるが、誰でも使いやすい分、基本的な過ちを犯しやすい可能性もある。たとえば、今回のクエン酸の例でも適当な初期値を選んでやらないと、まともな回答が得られなかった。さらに、“変化させるセル”への記入順序が適当でない場合も不当な回答がでた。これらの解を採択しないための判断基準を設けておくことが必要である。今回の計算では、グラフ化して視覚的に判断する方法を用いた。ソルバーの扱いは簡単であるが、十分な注意を払って利用しなくてはならない。
このことをよく意識した上で使用すれば、ソルバーは非常に強力な道具である。また、Excelの持つ自由度を受け継いでいるので、Excel上で表現可能な問題であれば、どんな問題でも対応可能である。つまり、それだけの可能性を秘めているといって良い。ゆえに、固定観念を与えることを避けるために、必要最低限のことを記述したつもりである。本報告を読み、興味を持たれたならば、ぜひお手元のExcelで実行してみることをお勧めする。

最適化及び、ソルバーの使用についての助言を頂き、東京農工大学大学院生物システム応用科学研究科、秋澤 淳助教授に感謝の意を表明する。

参考文献