原子軌道の角部分に関する新しい可視化方法の研究

時田 澄男, 木戸 冬子, 杉山 孝雄, 細矢 治夫

1 序論

2 ハードウェアとソフトウェア

2. 1 ハードウェア

2. 2 可視化ソフトウェア

2. 3 フィールドデータの作成

Table 1. Field data for AVS

#AVS field file #
#this is a header file for a field to be
#used in conjunction with the build a field module of AVS
#
ndim = 3
dim1 = 40
dim2 = 40
dim3 = 40
nspace = 3
veclen = 1
data = float
field = uniform
file = /usr/AVS/A_work/ang_s.dat filetype = ascii

1. 「#AVS field file #」は, AVS のフィールドファイルであることを宣言する．構造が格子であるデータファイルには、必ず1行目にこの固定宣言文が必要である．また, ２行目以降で#ではじまる行は, 全てコメント行として無視される．
   
2. 「ndim」は, 計算空間での次元数
   
3. 「dim1」は, x方向の格子数
   
4. 「dim2」は, y方向の格子数
   
5. 「dim3」は, z方向の格子数
   
6. 「nspace」は, 計算空間に対応する物理空間の次元数を定義する．例えば, 格子点の座標値をx, yの２次元座標で定義するときは「nspace = 2」となるが, x, y, zの３次元座標で定義するときは「nspace = 3」となる．
   
7. 「veclen」は, 格子点に存在するデータ成分の数
   
8. 「data」は, データの型で, この場合は浮動小数点 (float)
   
9. 「field」は, 物理空間にマッピングする時の座標情報を定義する．「uniform」は等間隔の直交格子を示し, 通常は座標値を持たない．
   
10. 「file」以下には, 格子点上のデータを記述したデータファイルの名前をディレクトリ名とともに記述する．
    
11. 「filetype」には, データファイルの形式（asciiまたはbinary）を指定する．
    

2. 4 ネットワークの作成

Figure 1. Network for AVS.

Figure 1の各モジュールの意味は以下の通りである．

1. [read field]モジュールは, フィールドファイルからフィールドデータを読み込む．
   
2. 読み込んだデータは, 関数値が正または負の等値曲面 [isosurface]と関数値が0の等値曲面を3種の異なる色で表現した．
   
3. [generate colormap], [color range], [field legend]で, 等値曲面の色とデータの範囲を設定する．
   
4. [geometry viewer]は, [isosurface]などで生成された, 形状, 色, 位置情報から成るGeometry dataに対して, 等値曲面を照らすライトの色や数, レンダリング（陰影づけ）の方法, 背景色や遠近感などのカメラ効果等の情報を付加して３次元の可視化表示画面を生成する．本研究ではこの機能を用いて, 表示に立体感を持たせている．
   

2. 5 画像データの保存

3 方法および結果

Figure 2. Relationship between (r, q, j) polar coordinate and vector OP.

Figure 3. Relationship between S(x, y, z) on vector OP and r(x, y, z).

3. 1 Y_0,0(q, j)の場合（s軌道）

Figure 4. Angular part of Y_0,0(q, j) from the equation(14).

3. 2 Y_1,0(q, j), Y_1,±1(q, j)の場合（p軌道）

3. 2. 1 Y_1,0(q, j)の場合（p_z軌道）

Figure 5. Cross section of xz-plane of angular part Y_1.0(q, j)(16).

式(9)から, AVSの等値曲面技術を用いて可視化すべき式(21)が得られる．

式の右辺には, zしか含まれていないため, z軸方向に広がり原点で接するz軸対称の２つの球となる．節面はz＝0のxy平面となる（Figure 6(a)）．
式(21)にR_2,1(r)を乗じるとの2p_z軌道の式(22)が得られる．

この式には, exp項が含まれる．動径部分を含む場合には, このexp項に影響されて, 等値曲面は原点Oで接触しないアレイ型となる．しかし, 式(16)との比較から理解できるように, 節面は同じxy平面となる．また, n=3以上の動径部分を含む式の場合には, nの増加に従って原点を中心に描かれる球形節面が１ずつ増え, 等値曲面が分割される．

3. 2. 2 Y_1,±1(q, j)の場合（p_x軌道, p_y軌道）

Figure 6. Angular part of Y_l,m(q, j): (a) Y_1,0(q, j) from equation (21); (b) Y_1,+1(q, j) from equation (27); (c) Y_1,-1(q, j) from equation (28).

3. 3 Y_2,0(q, j), Y_2,±1(q, j), Y_2,±2(q, j)の場合（d軌道）

3. 3. 1 Y_2,0(q, j) の場合

3. 3. 2 Y_2,±1(q, j), Y_2,±2(q, j)の場合

Figure 7. Angular part of Y_l,m(q, j): (a) Y_2,0(q, j) from equation (32); (b) Y_2,+1(q, j) from equation (37); (c) Y_2,-1(q, j) from equation (38); (d) Y_2,+2(q, j) from equation (41); (e) Y_2,-2(q, j) from equation (42).

式(35)にR_3,2(r)を乗じると3d_xz軌道の式(43)が得られる．

式(36)にR_3,2(r)を乗じると3d_yz軌道の式(44)が得られる．

式(39)にR_3,2(r)を乗じると3d_x²-y²軌道の式(45)が得られる．

式(40)にR_3,2(r)を乗じると3d_xy軌道の式(46)が得られる．

式(43), (44), (45), (46)は, しかし, 対応する式との比較から理解できるように, 節面は角部分と同じ直交する２つの平面になる．また, n=4以上の動径部分を含む式の場合には, nの増加に従って原点を中心に描かれる球形節面が１ずつ増え, 等値曲面が分割される．
以上から, われわれの考案した方法で, ３次元の角部分の表示が得られることがわかった．
また, 可視化結果から, 角部分には波動関数の対称性に関する情報が全て含まれることを, 確認した．

3. 4 ４次元原子軌道の可視化

Figure 8. Cross section of angular part of 3d_3z²-r² (z=const.).

２次元が３次元の射影であることと同様に, ４次元の射影は３次元である．従って, ある一定条件を与えることにより, その条件下での４次元の断面（立体）を３次元上の立体として見ることが出来る．
いま, 式(51)と４次元のd軌道の式(52)から角部分の式(53)を得る．

さらに, 式(9)と式(53)から, 式(54)を得る．

式(54)にw＝0という条件を与え, AVSの等値曲面表示を用いて, xyz座標上の３次元の立体としてこの式を描いた（Figure 9）．この図の節面の角度は, 式(53)を0とおくことにより, 以下のようにして求められる(q=60, q=120)．

Figure 9は, ４次元のd軌道の角部分について, ３次元上での１つ形をあらわしている．また, この図は, Figure 7(a)で示した３次元のd軌道の1つと位相幾何(topology)的に同じであることが確認できる．しかし, Figure 9とFigure 7(a)では, 節面の角度が異なる．この角度の違いは, Figure 9が４次元のd軌道の角部分を３次元上の射影を表示しており, ３次元のd軌道の角部分表示ではないことを示している．

Figure 9. Three-dimensional representation of 4-dimensional atomic orbital (53) under the condition of w=0.

4 結論

参考文献