高次元用改良Simplex法とその波形分離による評価

宮前雄一，張崇良，成澤芳男*

１．はじめに

　２．アルゴリズム

２．１．高次元の最適化におけるModified Simplex Methodの弱点

　　　　　 Fig.1　 SMの基本移動ルール

２．２．Simplex法の改良

　　　　　　　　Fig.2 　 Simplexの全点同時移動

　ただし、この方法で移動すると新しいSimplexすべての点の関数値を計算する必要があり、通常の計算ループより計算時間がかかるため、Ａ点とあまり関数値が変わらないような所へ全点を移動すると、かえって計算時間が無駄になる。この点は、関数値が一定の比率以上良くなる場合のみ全点同時移動を行うように制限をし、効果の低い全点同時移動を回避した。
ｂ．Simplexの変形
　２次元平面上での最適化では、Simplexを形成する点の数は３点なので、MSMのようにSimplexの最悪点に対して対称な点（以下鏡像点とする）の関数値によって４種類の伸縮・方向転換の方法があれば十分である。しかし、点の数は次元数ｎに対してｎ＋１個なので、高次元の最適化においては変形方法が４段階では区切り方が荒すぎると考えられる。
　そこで本改良では、鏡像点の関数値が既存の最良点より優れている場合には先の全点同時移動を行うが、そうでない場合には次元数が変わっても対応できるよう、次元数ｎに対しｎ＋１種類の変形パターンを取るようにした。これは次元数が低いときはMSMのルールとほぼ同じであるが、次元数の高いときはより細かく伸縮係数を決定する方法である。
ｃ．Simplexの作り直し
　高次元の最適化では応答表面はかなり複雑で、関数値が良くならない最適化ループを繰り返しているうちに、最適値に十分近づかないままSimplexが小さくなったり、Simplexの 形が歪んでSimplexの全ての点がほぼ同じ関数値をもつ位置に並んでしまうことがある。このような状態になると、その後の有効な最適化は困難になるので、本法ではSimplex中の最良点と最悪点の関数値の差が一定値より小さくなったときに、Simplexを新しく作り直すようにした。この方法の２次元での例を Fig. 3に示す。Fig. 3 (a)の数値は関数値の良 い順番を表す番号であるとして、１番の点のみを残し他の点は捨て、サイズや形が適当なFig. 3 (b)のようなSimplexに作り直す。これにより、多くの場合は最適化が進みにくくなった状態から脱出することができる。

　　　 Fig.3 　 Simplexの作り直し

ｄ．最適化空間の低次元化 　波形分離の場合、波形の中で重なり度の高い部分と低い部分があると、重なり度の低い部分については他の部分より先に最適化が進むことがある。このとき、その部分のピークを表すパラメータを固定することで、計算プログラムをほとんど変更することなく、擬似的に最適化を行う空間の次元数を下げることができる。これにより、重なり度の高い部分の最適化がスムーズになり、また最適化計算ループ１回に要する計算時間も短くなる。

３．方法

３．１．装置とプログラム言語

３．２．プログラムの概要

４．合成波形の波形分離

４．１．目的と方法

４．２．結果と考察

　　　　　　　　Fig.4 　　 波形 a

　　　　　　　　 Fig.5 波形 b

　　　　　　　　　Fig.6 　　 波形 c

　まず波形ａについては、ピーク同士の重なり度は非常に高いにもかかわらず、本改良法、MSMのいずれの方法でも十分な精度で波形分離を行うことができた。これは、ピークが２つだけなので最適化を行う空間の次元数は６次元であり、この程度の次元数なら通常のMSMも問題なく使えることを示している。計算スピードについては、本改良法の方がやや優れている結果が出た。
　ピーク数４の波形ｂでは、設定誤差1.0×10^{-4}まではMSMも問題なく最適化を行えるが、その次の1.0×10^{-6}の設定では、10000ループの計算でも設定誤差に到達できなかった。これは関数値が10^{-4}を下回ったあたりで最適化がうまく進まなくなり、Simplexが縮小してそれ以上最適値に近づけなくなったためである。しかし、1.0×10^{-4}の誤差設定でも平均ピーク面積誤差0.232%までの最適化はできており、実際の波形分離に何とか利用できる程度といえよう。また伸縮係数の調整により、もう少し最適化を進めることは可能と思われる。
　これに対し、本改良法を用いた場合は関数値が10^{-10}に達するまでスムーズに最適化が進んでおり、全く問題がなかった。
　最後に７ピークの波形ｃについてであるが、この波形は重なり度が低く、分離する必要などほとんどないような波形である。しかし、一見非常に分離が簡単そうなこの波形でも、MSMによる波形分離では約１％の平均ピーク面積誤差を残しており、満足な解析ができているとは言い難い。これは波形ｂの場合と同様に、２１次元という高次元の最適化において、Simplexを縮小する傾向の強いMSMでは、一度最適化が減速すると再び加速することができず、そこで収束してしまうためである。
　本改良法による波形分離では、計算時間はかなり要しているものの、設定誤差1.0×10^{-1}での解析にも成功している。この点で、高次元の解析を精度良く行うという本改良の第一目的は達せられたといえる。
　実測データへの応用例として、N-Acetyl-L-proline N-methylamide (APM)の赤外吸収スペクトルの解析結果を Fig. 7に示す。この解析ではピークによってガウス関数とローレンツ関数を使い分け、４つのピークで波形分離を行っている。この図では、実測スペクトル、波形分離した各ピークおよびそれらのピークを合成した波形を重ねて表示しているが、合成波形と実測スペクトルの差が分からないほど十分な最適化が行えた。条件を変えて測定したスペクトルの解析など、APMのIRスペクトルの総合的な考察は別報にて行いたい。
　　　
　　　　　　　　Fig.7 　　APM の IR スペクトル

　本論文では合成波形の解析を中心に取り上げたが、ピークを表す適当な関数さえあればいかなる実測波形にも応用が可能で、今後の幅広い応用が期待できる。

Table １　　 各設定誤差で波形 a の分離に要した計算時間の比較

Table ２　　各設定誤差で波形 b の分離に要した計算時間の比較

Table ３　　各設定誤差で波形 c の分離に要した計算時間の比較

謝辞

　参考文献